Autre domaines d'application des integrales

Probabilité

On peut voir l'utilité des intégrales pour le modèle financier de Black et Scholes.

Probabilité

Le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard est décrit comme une loi de probabilité. Une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d'intégrales.
Par exemple, soit X, une variable aléatoire ayant pour densité de probabilité la fonction f.
Alors la probabilité que X soit compris entre 2 et 5 par exemple est égale à
Remarque : Toutes les lois de probabilité ne peuvent être définies par une densité de probabilité.

Exemple d’utilisation : La durée de vie d’un appareil

Si la durée de vie d’un appareil est dite sans vieillissement, c'est-à-dire que la durée de vie au delà d’un instant est indépendante de cet instant, on peut utiliser la loi exponentielle :
Soit X, la durée de vie, d’un appareil dont la durée de vie suit cette loi et E l’espérance mathématiques de X, c'est-à-dire la durée de vie moyenne de l’appareil.
Alors la fonction de densité de probabilité est :

• f(t)=0 pour tout t inférieur à 0,
• f(t)=$\frac{1}{E}{e}^{-\frac{t}{E}}$ pour tout t supérieur ou égal à 0

Alors la probabilité qu’un appareil tombe en panne entre un temps t₁ et t₂ est égal à :

Analogie avec la chimie nucléaire

Si l’on considère un noyau radioactif, la probabilité qu’il ne soit pas détruit à un instant t :
Avec $\frac{1}{E}=\lambda$ et un nombre initiale de noyaux N₀ Le nombre de noyaux à un instant t est : N(t)= N₀e^-λt
Le résultat est le même qu’avec les équations différentielles









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