Equations différentielles d'ordre un

Définitions

Méthode de résolution

Remarques

1. Définitions :

Définition 1 : Equation différentielle réelle linéaire d’ordre un :
Soit , a, b et c trois fonctions de . On note $(\xi )\; a(x)y\text{'}+b(x)y\; =\; c(x)$ l'équation différentielle réelle linéaire d'ordre un.

Définition 2 : Solution d'un équation différentielle :
Soit $I\subset J$ et $f\; \in D(I,\mathrm{ℝ)}$, $f$ est solution de (ξ) sur $I$ si et seulement si, quelque soit $x\in J$, $a(x)f\text{'}(x)\; +\; b(x)f(x)\; =\; c(x)$.

Définition 3 :
Il est évident que si f est solution de (ξ) sur J alors f est aussi solution de (ξ) sur tout intervalle $J\text{'}\subset J$.

Définition 4 : Solution maximale :
On appelle solution maximale de (ξ) une solution de (ξ) sur l'intervalle J le plus grand possible.

Définition 5 : Problème de Cauchy (condition initiale) :

Résoudre (ξ) consiste à trouver l'ensemble des solutions maximales. Soit $x_0\in J$ et $y_0\in ℝ$, l'écriture (C) $\{\begin{array}{c}a\left(x\right)y\text{'}+b\left(x\right)y=c\left(x\right)\\ y\left(\mathrm{x₀}\right)=\mathrm{y₀}\end{array}s’$appelle le problème de Cauchy pour (ξ) en (x₀, y₀).

Définition 6 : Résolution du problème de Cauchy :
Résoudre (C) consiste à trouver les solutions maximales $f\in D(J,ℝ)$ de (ξ) tel que $x_0\in J$ et f(x₀) = y₀ .

2. Méthode de résolution des équations différentielles d'ordre un :

by CALLAUD Pierre

Soit (ξ) : $y\text{'}+a(x)y\; =\; b(x)$ avec $a,\; b\in C(J,ℝ)$ et

• 1^ère étape :

On résout l'équation homogène (ξ₀) sur $J\; :\; y\text{'}\; +\; a(x)y\; =\; 0$
Toute solution y₀ de (ξ₀) est de la forme y₀(x) = k e^-A(x). Où A est une primitive de a sur J et $k\in ℝ$.


• 2^nde étape :

1. Si on connaît une solution particulière y_p (évidente ou obtenue grâce à une indication du sujet).
Les solutions sont de la forme : y : x↦y_p(x) + y₀(x)

2. Sinon, on applique la méthode de variation de la constante ou méthode de Lagrange :
On cherche les solutions de (ξ) sous le forme y(x) = k(x) e^-A(x).
Et par remplacement dans (ξ), on obtient : k'(x) e^-A(x) = b(x), d'où k(x) par calcul de primitive sur J.


Avec une condition initiale y(x₀) = y₀ donnée; on a l'écriture générale :

3. Remarques et observations :

Remarque 0 : modification d'équations différentielles
Dans le cas d'équations différentielles de la forme : (E)$u(x)y\text{'}+v(x)y=w(x)$ On détermine les intervalles sur lesquels la fonction u ne s’annule pas, et sur chacun d’eux, on résout l’équation (ξ) $y\text{'}+a(x)=b(x)$ : obtenue en divisant les deux membres de (E) par u(x) .

Remarque 1 : méthode du "physicien"
On peut parfaitement résoudre (ξ₀) en écrivant $\frac{y\text{'}}{y}=\; -a(x)$ et en intégrant chaque membre, à condition d'utiliser le résultat suivant : Si y est une solution de (ξ₀) sur J, soit y est nulle sur J, soit y ne s'annule jamais sur J.

Remarque 2 : Les valeurs absolues
Lorsque des valeurs absolues apparaissent dans les primitives, il faut essayer dans la mesure du possible de trouver une autre écriture, sans valeur absolue, quitte à changer le signe d'une constante.

Remarque 3 : Les constantes
Attention à bien changer de constante pour la solution de (ξ₀), lorsque l'on passe d'un intervalle à l'autre.

Remarque 4 : Pourquoi des constantes
La recherche de solutions définies des points M où u(x) s'annule (au bord des intervalles sur lesquels on a effectué la résolution) revient à déterminer des constantes (si elles existent) pour lesquelles les fonctions admettent des limites à gauche et à droite en M, égales. Ensuite, on vérifie si la dérivabilité en M de la fonction ainsi définie par prolongement est assurée.

Remarque 5 :
Toute équation de la forme $u(x)y\text{'}\text{'}\; +\; v(x)y\text{'}\; =\; w(x)$ est ramenée au cas d'une équation linéaire d'ordre un, en posant comme inconnue auxiliaire : z = y'.








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