Les développements limités
Les formules de Taylor, du nom du mathématicien
Brook Taylor, permettent l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
Formule de Taylor avec reste intégral ou formule de Taylor-Laplace
Soit I un ensemble,
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit I un ensemble,
alors
Très souvent on prend
Applications
-
Obtention d'inégalités : Encadrement d'une fonction par des polynômes.
-
Limites de suites : On peut minorer ou majorer une fonction moins un polynôme par une fonction de limite finie.
Formule de Taylor-Young
Soit I un ensemble,
f∈ℝ) , n∈ℕ, a ∈I,
alors
Lorsque a=0 la formule s'écrit :
Applications
-
Calcul de limites : Principalement lorsque x tend vers 0
-
Etude locale d'une fonction
2. Développement limité
En physique comme en mathématique, un développement limité d'une fonction au voisinage est une approximation par un polynôme de la fonction en ce point.
Développement limité en 0 : Généralité
Soit I un ensemble,
f∈
alors il existe un unique polynôme P de degré n tel que :
f(x) = P(x) +o(xn) = P(x) + xnε avec
Donc
un développement limité est unique.
Un développement limité de f en 0 à l'ordre n est noté DL
n(f,0) ou DL
n(0).
P est la partie régulière du DL
n(f,0).
Propriété de base de DLn(0)
-
Si f est paire, P est un polynôme pair (tous les termes non nuls sont de degré pair).
-
Si f est impaire, P est un polynôme impair.
DLn(0) fondamentaux n∈ℕ
by CALLAUD Pierre
Calcul de DL
Pour calculer un DL
n(f,x
0) on pose
t=x-x0 et
g(t) = f(t - x0) et on calcule un DL
n(g,0).
F possède un DL
0(x
0) si et seulement si F admet une limite finie en x
0 notée L :
F(x) + o(1).
(Si F est continue en x
0,
L = f(x0))
F(définie en x
0) possède un DL
1(F,x
0) si et seulement si F dérivable en x
0.
F(x) = F(x0)+F'(x0)(x-x0)+o(x-x0)
Opération sur les développements limités
- Si f(x) = P(x) + o (xn) et g(x) = Q(x) + o (xn) avec P et Q des polynômes de degré n alors
(f+g)(x) = (P+Q)(x)+o(xn)
(gf)(x)=T(x)+o(xn)
Où T est le polynôme PQ tronqué à l'ordre n.
- Soit u définie au voisinage de 0, avec , si u admet un DLn alors la fonction f= admet aussi un DLn(0)
- Soient f et g définies au voisinage de 0, ayant un DLn(0), si alors admet un DLn(0).
Intégration des développements limités
Soit
ayant un DL
n(0) de la forme (n>0)
Toute primitive F de f sur I admet un DL
n+1(f,0) de la forme
Dérivation
On ne peut pas toujours dériver le DL
n(f,0) pour obtenir le DL
n+1(f',0), car le lien entre DL et dérivées successives n'est pas réciproque. Cependant si f est de classe C
n sur I alors la dérivation est possible.
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