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Equations différentielles d'ordre deux à coefficients constants

Résolveur d'équations différentielles homogènes d'ordre 2

1. Définitions :

Définition 1 : Equation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants :
On appelle équation différentielle du 2^nd ordre à coefficients constants, toute équation de la forme :
(ξ) a.y’’(x)+b.y’(x)+c.y(x)=f(x)
où a,b,c∈ℝ et f∈C(I,ℝ)

Définition 2 : Equation homogème :
On appelle équation homogène associée à (ξ), l’équation (ξ₀) suivante :
a.y’’(x)+b.y’(x)+c.y(x)=0
Théorème 1 : Solution d'une équation différentielle :
Les solutions de l’équation (ξ) sont les fonctions suivantes : y(x)=y₀(x)+y_p(x) où y₀ est la solution générale de (ξ₀)
et y_p une solution particulière de (ξ).

2. Méthode de résolution :

Recherche d'une solution générale de (ξ₀)

On considère l’équation caractéristique associée à (e) : ar²+br+c=0 :

1^er cas : si Δ>0, (e) admet 2 racines simples réelles différentes : r1 et r2. Alors la solution générale (ξ₀) est :
y₀(x)=C₁.e^r₁x+C₂.e^r₂x avec C₁,C₂∈ℝ.

2^ème cas : si Δ=0, (e) admet une racine réelle double : r. Alors, la solution générale de (ξ₀) est :
y₀(x)=(C₁x+C₂).e^rx avec C₁,C₂∈ℝ.

3^ème cas : si Δ<0, (e) admet 2 racines complexes conjuguées : z₁=α+iβ et z₂=α-iβ. Alors la solution générale de (ξ⁰) est : y₀(x)=e^αx(C₁cos(βx)+C₂sin(βx)) avec C₁ et C₂ ∈ℝ.

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Recherche d'une solution particulière de (ξ)

1^er cas :
f(x)=e^nx.Q(x) où n ∈ℂ et Q est un polynôme de degré q. On cherche alors une solution particulière y_p de la forme suivante :
y_p(x)=e^nx
P(x) où P est un polynôme de degré p.

P=q si n n’est pas racine de (e)
P=q+1 si n est racine simple de (e)
P=q+2 si n est racine double de (e)

2^ème cas :
f(x)=e^nx(Acos(ωx)+Bsin(ωx)) où A,B,ω,n ∈ℝ. On cherche la solution particulière sous la même forme :
y_p(x)=e^αx(βcos(ωx)+γsin(ωx))
On veut que y_p soit solution de (ξ) et on l’injecte donc dans (ξ) pour déterminer β et γ.