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Applications des équations différentielles à la chimie

Cinétique chimique

Réaction d'ordre 0 à un réactif

Soit la réaction :
A=>B

Condition initiale : [A](t=0)=[A]0
Définition : une telle réaction d'ordre 0 a une vitesse v= d [ A ] dt = d [ B ] dt constante.
Donc d [ A ] dt =k soit d[A]=-kdt en intégrant entre t=0 et un instant t quelconque on a :
[A]=-kt+[A]0


Réaction d'ordre 1 à un réactif

Soit la réaction :
A=>B

Conditions initiale : [A](t=0)=[A]0
Définition : une telle réaction d'ordre 1 a une vitesse de la forme v=k[A].
On a donc l'équation différentielle :
d [ A ] dt =k[A]

Soit
d [ A ] [ A ] =-kdt

D'où en intégrant entre t=0 et un instant t quelconque on a :
ln( [ A ] [ A ] 0 )=-kt donc [A]=[A]0 e-kt

Réaction d'ordre 2 à un réactif

Soit la réaction :
A=>B

Condition initiale : [A](t=0)=[A]0
Définition : une telle réaction d'ordre 2 a une vitesse de la forme v=k[A]².
On a donc l'équation différentielle :
d [ A ] dt =k[A]²

Soit
d [ A ] [ A =kdt

D'où en intégrant entre t=0 et un instant t quelconque on a :
1 [ A ] 1 [ A ] 0 = kt donc [ A ] = 1 kt + 1 [ A ] 0


Réaction d'ordre n (n>1) à un réactif

Soit la réaction :
A=>B

Condition initiale : [A](t=0)=[A]0
Définition : une telle réaction d'ordre n a une vitesse de la forme v=k[A]n.
On a donc l'équation différentielle :
d [ A ] dt =k[A]n

Soit
d [ A ] [ A ] n =-kdt

D'où en intégrant entre t=0 et un instant t quelconque on a :
1 ( n + 1 ) [ A ] n + 1 1 ( n + 1 ) [ A ] 0 n + 1 =kt


Exemples cinétiques de réactions



Chimie nucléaire

Définition : la radioactivité est la transformation (ou désintégration) de noyaux instables en d'autres noyaux.
Elle est la plupart du temps acompagnée d'émission de particules ( β , β + , α ) mais aussi de rayonnements électromagnatiques (γ).

L'utilité des équations différentielles se trouve dans la loi de décroissance radioactive.

Définition : L'activité d'un échantillon radioactif (A) correspond au nombre de désintégration par unité de temps, donc A= dN dt (1). Avec dN (sans unité) le nombre de noyaux désintégrés au bout d'une durée dt (en s). L'activité A s'exprime en Becquerels (i.e. en nombre de désintégrations par seconde).

La loi de décroissance radioactive nous dit que: l'activité A est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs N.
Soit λ + tels que A =λN (2) (λ la constante radioactive, caractéristique à un noyau radioactif).

En utilisant les équations (1) et (2) on en déduit que λN + dN dt = 0.

D'où N = N 0 e λt avec N 0 le nombre de noyau radioactif à t = 0.

L'iode 131

Prenons l'exemple de l'iode 131 qui a une période de demi-vie de 8,02 jours soit une constante radioactive λ de 0,783 jours-1.
Pour 1 µg(=N0) de l'iode 131 on obtient la courbe suivante :


Plus d'explications :
La cinétique chimique
La chimie nucléaire



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