Autres domaines d'application des équations différentielles

La dynamique des populations

Combustion d'une bougie

Equations de Lotka-Volterra

La dynamique des populations

Prenons un exemple simple de modèle de croissance de la population : La loi de Malthus.
En supposant que la population vive dans un milieu non limitant, c'est à dire que le milieu n'est pas dangereux pour l'homme, alors la population N sera régit pas l'équation différentielle :
$\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}$=kN
k est une constante caractéristique de l'équation.
On en déduit que N(t)=N₀e^kt

Combustion d'une bougie

La combustion d'une bougie dans l'air est une réaction d'ordre zéro. En effet la cire de la bougie brûle à vitesse constante. Soit N la quantité de combustible (stéarine) dans la bougie, celle-ci suit : $\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}$=k, k une constante. Donc N(t)=N0-kt avec N0 la quantité initiale en combustible

by CALLAUD Pierre

Equations de Lotka-Volterra

Ces équations différentielles sont aussi appelées "modèle proie-prédateur".
Il s'agit d'équations non linéaires du 1^er ordre décrivant des systémes biologiques où un prédateur et sa proie interagissent.

$\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=x(A-\mathrm{By})\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=-y(C-\mathrm{Dx})\end{array}$

• x représente le nombre de proies,
• y représente le nombre de prédateur
• A le taux de natalité des proies en l'absence de prédateur
• B le taux de mortalité des proies dû au prédateur
• C le taux de mortalité des prédateur sans les proies
• D le taux de natalité des prédateurs en fonction des proies mangées.

Cette équation différentielle n'est pas résolvable dans le sens où on ne connaît pas une expression fonctionnelle des solutions.
Cependant on peut la résoudre de manière numérique gràce des logiciels de calcul adaptés par exemple MathLab.
En effet toutes les équations différentielles n'ont pas de solution aussi simple que ce que nous avons vu ici.
Il exite encore de nombreuses équations différentielles dont les solutions sont inconnues, l'un des exemples que vous serez amené à traiter au cours de vos études d'ingénieurs est l'équation de Schrödinger.









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