Les matrices

Méthode 1

Méthode 2

Méthode 3

Méthode 4

Méthode 5

Méthode 6

Méthode 1 :

Comment montrer qu’un ensemble de matrices est un sous espace vectoriel de M_n,p(ℝ) ou M_n(ℝ) ?

On peut montrer que E est non vide et stable par combinaison linéaire. Si l’expression des matrices fait intervenir des scalaires arbitraires, on écrit chaque matrice comme combinaison linéaire de matrices fixes, ce qui répond à la question et fournit une base de E.
Exemple :

Méthode 2 :

Comment calculer le rang de A ?

On calcule le rang de A (élément de M_n,p(ℝ)) par une méthode du pivot sur les colonnes (ou le lignes), en essayant d’éviter des pivots dépendant d’un paramètre. Lorsque cela n’est plus possible, on fait des discussions suivant la nullité ou non du coefficient que l’on veut prendre pour pivot, pour continuer la méthode. Il est parfois possible de calculer très simplement le rang d’une matrice, en supprimant une colonne nulle, ou une colonne proportionnelle à une autre, puis en permutant lignes ou colonnes de façon à se « rapprocher » d’une matrice échelonnée, ce qui permet de lire directement le rang de cette matrice.

Méthode 3 :

Comment savoir si un vecteur v de E appartient au sous espace vectoriel engendré par une famille F de vecteurs de E, ou comment déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les composantes d’un vecteurs de E ?

On écrit la matrice A = M_B(F) et la matrice A₁= M_B(F U {v}). v ∈ Vect(F)<=> rg(A) = rg(A₁) Si on connaît le rang m de A (c’est-à-dire celui de la famille F) , on cherche si rg(A1) = m à l’aide de la méthode du pivot, sinon on calcule simultanément rg(A₁) et rg(A) , avec la méthode du pivot sur les colonnes sur A₁. Lorsque v est pris quelconque, cette méthode fournit la (ou les équations) de Vect(F).

Méthode 4 :

Comment montrer qu’une famille de vecteurs est une base, à l’aide de matrices ?

Montrer que (f₁,...,f_n) est une base de E (rapporté à une base B) revient à montrer que M_B(f₁,...,f_n) est inversible, ou de rang n.

Méthode 5 :

Comment montrer qu’une matrice carrée A ∈M_n(ℝ) est inversible et éventuellement calculer son inverse ?

1. On peut essayer de montrer que rg(A) = n (par méthode du pivot sur lignes ou colonnes), ou, dans le cas n = 2 ou 3, on prouve par calcul que det(A) ≠0. Pour le calcul de l’inverse, on résout Y = AX <=>X = A^-1Y, d’inconnue X.
2. On peut chercher une relation de la forme AM = I_n (ou bien MA = I_n) ; cette relation peut s’obtenir dans certains cas en exprimant A² (ou A³) en fonction de A et I_n (ou A², A et I_n) et en factorisant ; cette opération fournit l’inverse de A.
3. Le critère d’invisibilité d’une matrice triangulaire est à connaître absolument.

Méthode 6 :

Comment calculer la puissance nième d’une matrice carrée A ?

1. Trouver une «forme» simple dans le calcul des puissances successives.
2. Utiliser une décomposition de A sous la forme A = K + L, K et L simples (souvent K ou L est une matrice scalaire) et de puissances faciles à déterminer et qui vérifient en outre : KL = LK. La formule du binôme donne alors une expression de A_n.
3. Si on connait un polynôme annulateur P de la matrice A, on peut calculer le reste Rn de la division euclidienne de Xn par P et alors : A_n=R_n(A)
4. Montrer par récurrence qu’il existe par exemple des suites de scalaire (a_n) et (b_n) telles que A_n = a_nA+b_nI_n, et les relations entre a_n+1,b_n+1,a_n et b_n permettent de les déterminer.

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