Intégrales et Primitives

Généralités sur les intégrales

Intégration par parties

Changement de variable

Calculatrice de fonction

1. Généralités sur les intégrales

Définition

Soit $f\in C^0([a,b]$) avec $(a,b)\in ℝ²,\; a\le b$
L'intégrale $({\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx})$ est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

by COHU Aurelien

• (i) Si f est une fonction continue, positive ou nulle sur [a,b] alors :
• (ii)
• (iii) Si $\forall x\in [a,b]$ alors f(x)≤g(x),
• (iv) Relation de Chasles : $\forall c\; \in \; [a,b]$,

Propriétés

Dans toute cette partie, on prend : (f,g)∈$C^0([a,b]$)² avec (a,b)∈ℝ², a≲b

1. 
2. Linéarité :$\forall \lambda \in ℝ$
3. Soit f une fonction continue sur [-a,a], a ≥ 0, si f est impaire alors
4. Soit f une fonction continue sur [-a,a], a ≥ 0, si f est paire alors

Inégalité de la moyenne : S'il existe m et M réels tels que ∀x∈[a,b], m≤f(x)≤M donc d'après le (iii) de la définition, on obtient :

car m et M sont des constantes.

Primitives

Définition :Soient f et F des fonctions définies sur un intervalle [a,b].
On dit que F est une primitive de f si F est dérivable sur [a,b] et si F' = f.

Remarque : Une primitive est toujours définie à une constante près. En effet, la dérivée d’une constante est nulle.

Remarque : Il est très important de ne pas confondre intégrale et primitive. La primitive est une fonction qui nous permet de calculer une intégrale grâce aux bornes de celle-ci ${\int }_{[a,b]}f=F\left(b\right)-F\left(a\right)$. F est la primitive et ${\int }_{[a,b]}f$ est l'intégrale. L'intégrale peut être une constante ou une fonction indépendante de la variable d'intégration alors que la primitive est une fonction.

Théorème : Soit g une fonction définie sur l'intervalle I et a∈I, la fonction G définie sur I par G : x↦${\int }_a^{x}g\left(t\right)\mathrm{dt}$ est la seule primitive qui s'annule en a.

2. Intégration par parties

by WILLOT Jeremy

Soient $(f,g)\in C^1\left(\right[a,b\left]\right)²$

Ceci peut être facilement retrouvable grâce à la formule de la dérivée du produit :
$\left(\mathrm{fg}\right)\text{'}=f\text{'}g+\mathrm{fg}\text{'}\Rightarrow \mathrm{fg}\text{'}\text{'}$=(fg)' - f'g

Exemple

3. Changement de variable

by WILLOT Jeremy

Parfois, une résolution directe est impossible et il peut être judicieux de faire un changement de variable afin de retrouver une forme plus simple.
Formule du changement de variable :

Cas particulier : Les règles de Bioche

Si la forme différentielle F(cos x, sin x) est invariable par le changement de $\{\begin{array}{c}\mathrm{x\; en}-x\mathrm{on}\mathrm{pose}t=\cos x\\ \mathrm{x\; en\; (\pi \; -\; x)\; on\; pose\; t}=\sin x\\ \mathrm{x\; en\; (\pi }+\mathrm{x)\; on}\mathrm{pose}t=\tan x\end{array}$
Sinon, on pose t = $\tan \frac{x}{2}$
Et on fait le changement de variable correspondant.
On est ainsi ramené à un calcul de primitive de fraction rationnelle.

Exemple

On veut calculer : Or


On pose u=sin(x) d'où du=cos(x) dx, on a donc :










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