$Les MATH pas a pas$

Les polynômes

by QUESNEAU Valentin

1.Définitions

Un polynôme p est une fonction du type : $p(x)=\sum_{n}^{i=1}a_{i}x^{i}$
Dans ce cas, an est le coefficient dominant du polynôme et n est le degré du polynôme et est noté deg(p).

2.Opérations

Addition

Soit deux polynômes p et q . $p(x)=\sum_{n}^{i=1}b_{i}x^{i}$
$q(x)=\sum_{k}^{i=1}b_{i}x^{i}$ On note le maximum de n et k : max(n,k),

\forall i > n, a_{i} =

0 et

\forall i > p, b_{i} = 0

On a alors $(p+q)(x)=\sum_{i=1}^{max(n,k)}(a_{i}+b_{i})x^{i}$

Produit

On reprend les mêmes polynômes p et q :
On a alors $(pq)(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}a_{i}b_{i}x^{i+j}$
C'est la distributivité.

Factorisation

Le but est de transformer le polynôme $p(x)=\sum_{n}^{i=1}a_{i}x^{i}$ En produit de polynôme de degrè 1 $p(x) = a_{n}\prod_{i=1}^{n}(x-x_{i})$ Dans ℂ tous polynôme est factorisable sous cette forme ( ∀i∈[1,n] x_i∈ℂ racine de p), ce n’est pas le cas dans ℝ. Cependant dans ℝ tous polynômes peut s’écrire sous la forme :

$p(x)= a_{n}\prod_{u}^{i=1}(x-x_{i})\prod_{j=1}^{v}(x² +2cos(\alpha _{i})x + 1)$ avec u+v=n et ∀i∈[1,u] x_i∈ℝ racine de p ∀i∈[1,v] α_i∈ℝ.

Exemple

p(x)= a₂x²+ a₁x+ a₀

1^ère étape : Calcul du discriminant

₁

₂

₀

2^nde étape : Calcul de x1 et x 2 :

$x_{1}=x_{2}=\frac{a_{1}}{2a_{2}}$

$x_{1}=\frac{-a_{1}-i\sqrt{-\Delta }}{2a_{2}}$
$x_{2}=\frac{-a_{1}+i\sqrt{-\Delta }}{2a_{2}}$

$x_{1}=\frac{-a_{1}-\sqrt{\Delta }}{2a_{2}}$
$x_{2}=\frac{-a_{1}+\sqrt{\Delta }}{2a_{2}}$

Division Euclidienne

Soit A et B deux polynômes avec deg(A) ≥ deg(B) alors il existe un unique couple (Q,R) de polynôme tel que : A = QB + R avec deg(R) < deg(B).
On dit que A est divisible par B si et seulement si il existe un polynôme Q tel que A = QB.

3.Intégration et Dérivation

Intégration

Soit : $p(x)=\sum_{n}^{i=1}a_{i}x^{i}$ Alors la primitive de p(x) qui s'annule en 0 est : $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\frac{x^{i+1}}{i+1}$

Dérivation

Soit : $p(x)=\sum_{n}^{i=1}a_{i}x^{i}$ Alors le polynôme dérivé s'écrit : $p'(x)=\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^{i}$

Limites

Si deg(p) est pair alors le polynôme tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus ou moins l'infini.
Si deg(p) est impair alors le polynôme tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini et le polynôme tend vers moins l'infini lorsque x tend vers moins l'infini.
Deux courbes pour montrer ces limites :