Dans ce cas, an est le coefficient dominant du polynôme et n est le degré du polynôme et est noté deg(p).
2.Opérations
Addition
Soit deux polynômes p et q .
On note le maximum de n et k : max(n,k), 0 et
On a alors
Produit
On reprend les mêmes polynômes p et q :
On a alors
C'est la distributivité.
Factorisation
Le but est de transformer le polynôme
En produit de polynôme de degrè 1
Dans ℂ tous polynôme est factorisable sous cette forme ( ∀i∈[1,n] xi∈ℂ racine de p), ce n’est pas le cas dans ℝ.
Cependant dans ℝ tous polynômes peut s’écrire sous la forme :
avec u+v=n et ∀i∈[1,u] xi∈ℝ racine de p ∀i∈[1,v] αi∈ℝ.
Exemple
p(x)= a2x²+ a1x+ a0
1ère étape : Calcul du discriminant
Δ = a1² - 4a2 a0
2nde étape : Calcul de x1 et x 2 :
Si Δ = 0 alors on a
Si Δ<0 alors on a
Si Δ > 0 alors on a
Division Euclidienne
Soit A et B deux polynômes avec deg(A) ≥ deg(B) alors il existe un unique couple (Q,R) de polynôme tel que : A = QB + R avec deg(R) < deg(B).
On dit que A est divisible par B si et seulement si il existe un polynôme Q tel que A = QB.
3.Intégration et Dérivation
Intégration
Soit :
Alors la primitive de p(x) qui s'annule en 0 est :
Dérivation
Soit :
Alors le polynôme dérivé s'écrit :
Limites
Si deg(p) est pair alors le polynôme tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus ou moins
l'infini.
Si deg(p) est impair alors le polynôme tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini et
le polynôme tend vers moins l'infini lorsque x tend vers moins l'infini.
Deux courbes pour montrer ces limites :