Les MATH pas a pas
formation

Les Fonctions Trigonométriques


1.Définitions


Les fonctions trigonométriques les plus couramment utilisées sont le cosinus, le sinus et la tangente. Les fonctions sin et cos sont définies, continues et dérivables sur ℝ et la fonction tan est définie, continue et dérivable sur ℝ { π 2 + } , (k∈ℤ)
Il existe plusieurs façons de définir les fonctions sinus, cosinus et tangente, ici, nous utiliserons une approche graphique.

Le cosinus peut être défini comme l’abscisse d’un point sur un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère orthonormé et le sinus son ordonnée. L’angle concerné étant celui entre l’axe des x et la droite passant par le point et l‘origine.
La tangente peut être défini comme l’ordonnée de l’intersection entre la droite passant par le point concerné et l‘origine et la droite x=1.
Représentation graphique :
Cosinus
Sinus
Tangente


2.Fonctions réciproques

Associées à ces fonctions, existent les fonctions dites trigonométriques réciproques telles que
y=arcsin⁡(x)⟺x=sin⁡(y) (y∈ [ π 2 ; π 2 ] )
y=arccos⁡(x)⟺x=cos⁡(y) (y∈ [ 0;π ] )
y=arctan⁡(x)⟺x=tan⁡(y) (y∈ [ π 2 ; π 2 ] )
Représentation graphique :
Arccosinus
Arcsinus
Arctangente


3.Dérivées des fonctions trigonométriques

Toutes les fonctions trigonométriques sont dérivables et on a :


4.Propriétés


De l'approche graphique, nous pouvons remarquer quelques propriétés importantes du sinus et du cosinus :
cos⁡(a+b)=cos⁡(a) cos⁡(b)-sin⁡(a) sin⁡(b)
cos⁡(a-b)=cos⁡(a) cos⁡(b)+sin⁡(a) sin⁡(b)
sin⁡(a+b)=sin⁡(a) cos⁡(b)+cos⁡(a)sin⁡(b)
sin⁡(a-b)=sin⁡(a) cos⁡(b)-cos⁡(a)sin⁡(b)

De ces formules, on peut en déduire :

tan ( a + b ) = tan ( a ) + tan ( b ) 1 tan ( a ) tan ( b )

tan ( a b ) = tan ( a ) tan ( b ) 1 + tan ( a ) tan ( b )


cos(p)+cos(q)=2cos ( p + q 2 ) cos ( p q 2 )
cos(p)-cos(q)=-2sin ( p + q 2 ) sin ( p q 2 )
sin(p)+sin(q)=2sin ( p + q 2 ) cos ( p q 2 )
sin(p)-sin(q)=2cos ( p + q 2 ) sin ( p q 2 )

(se démontre on posant p= a + b 2 et q= a b 2 )


cos(a)cos(b)= 1 2 ( cos ( a + b ) + cos ( a b ) )
sin(a)sin(b)= 1 2 ( cos ( a b ) cos ( a + b ) )
sin(a)cos(b)= 1 2 ( sin ( a + b ) ) sin ( a b ) )


La fiche résumée
Vidéo 1
Vidéo 2



Retour en haut de la page
Accueil
Crédit
Plan du site



Licence Creative Commons
Ce(tte) oeuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale 3.0 France.