$Les MATH pas a pas$

Exponentielle et logarithme

1. Introduction

La fonction exponentielle, notée f(x)=exp(x), est une bijection définie continue et dérivable de ℝ dans ℝ.
Tandis que la fonction logarithme népérien, notée f(x)=ln(x), est une bijection définie continue et dérivable de ]0 ;+∞[ dans ℝ

Exponentielle	Logarithme Népérien
by DEMAZEAU Maxime	by DEMAZEAU Maxime

Historiquement, la fonction logarithme est apparue en première au 16^ième siècle car elle simplifiait des calculs utilisés en astronomie, en navigation ou encore en banque grâce à sa capacité à transformer des produits en somme.

2. Définition

Il existe plusieurs façons de définir ces fonctions :

Pour l’exponentielle

exp(x)=e^x avec e le nombre d’Euler (e= 2,71828183)
$exp(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$
l'exponentielle est la solution de f’(x)=f(x) telle que f(0)=1
l'exponentielle est l'unique fonction telle que f(x+y)=f(x)f(y)

Pour le logarithme népérien

$\forall x \in ]-1;1[,\; ln(1+x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}$
$\forall y \in ]0;+\infty [\;, ln(y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{{\left(\frac{y-1}{y+1}\right)}^{2n+1}}{2n+1}$
Le logarithme est la primitive s’annulant en 1 de la fonction f(x)= $\frac{1}{x}$
Le logarithme est la bijection réciproque de ln(exp(x))=x
Le logarithme est l'unique fonction telle que f(x*y)=f(x)+f(y)

L’exponentielle et le logarithme népérien sont des cas particuliers de fonctions plus générales appelées respectivement fonctions exposants et fonctions logarithmes.
Les fonctions exposants sont les fonctions de la forme f(x)=a^x a∈ℝ et leurs fonctions logarithmes réciproques associées sont notées log_a et on parle de logarithme de base a. Il est possible de dire que ln est le logarithme de base e
On a : log_a(x)=

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}

et a^x=e^x*ln⁡(a)

3. Quelques propriétés :

l’exponentielle

e^2a=e^(a+a)=e^a e^a=(e^a)² Généralisation : e^(a*b)=(e^a)^b
De cette formule, on a aussi la positivité et la croissance de l’exponentielle, en effet : ∀x∈ℝ ∃y∈ℝ / x=2y d'où e^x=(e^y)²≥0

Limite :

$\lim_{x \to -\infty }e^x=0$
$\lim_{x \to +\infty }e^x=+\infty$
$\lim_{x \to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$

Dérivation :

(e^λx)'=λe^λx (application de (fog)'=g'*f'og) et la croissance de exopnnentielle est due à (e^x )'=e^x
il s'en déduit que : $\int e^{\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}e^{\lambda}$
e^(-a)=(e^a )^(-1)=