Applications des équations différentielles à la physique
Le pendule oscillant
Si on considère le système suivant :
![](images/Pendule.jpg)
by CALLAUD Pierre
La masse m, de centre de masse M(L,θ) reliée à un fil de masse négligeable, de longueur L, relisé lui-même à un plafond.
On se place dans le référentiel galiléen (O,
).
A t=0 le pendule est làché avec une vitesse initiale nulle et un angle θ non nul. On néglige les frottements de l'aire.
En appliquant le principe de conversion de l'énergie, on a Em = Ec + Ep = Constante.
Soit Em =
+ m.g.cos(θ).L .
En dérivant par rapport à t, on obtient : m.v².v+ m.g.θ'.sin(θ).L = 0 (1).
Or
.
Et
= = Lθ'.
D'où v=Lθ' et v=Lθ''.
Et donc (1) => L²θ'θ''+m.g.θ'.sin(θ).L = 0 => θ''+
=0 (2).
(2) est une équation non linéaire en θ et donc difficilement résolvable, cependant en faisant l'approximation des petits angles on a : sin(θ)=θ.
Ainsi (2) devient
θ''+ =0.
En utilisant la méthode de résolution dans la partie cours on trouve que la solution général de cette équation est de la forme :
θ(t) = Asin(wt)+Bcos(wt) avec w =.
Et comme à t=0 θ(0)=B= θ
0, et v(0)=0=L θ'(0) donc θ'(0)=0 d'où A=0.
Ainsi
θ(t) = θ0cos (wt).
Circuit RLC
Soit le circuit RLC en série suivant :
![](images/CircuitRLC.jpg)
by CALLAUD Pierre
Conditions initiales : UC(0)=0, i(0)=0
D'après la loi des mailles on a : E = UL + UR + UC
Avec :
UL= et UR=Ri
Donc E=UC+Ri+L
de plus i=i
c =C
D'où
l'équation différentielle suivante :
E=UC+RC+LC
Remarque : UC=E est une solution particulière évidente de cette équation.
Equation homogène :
On divise les tous par LC et on pose y=UC ,
y'= et
y''= d'où :
++y''=0
L'équation caractéristique de cette équation a pour déterminant :
Δ=(
Trois cas se présentent donc à nous :
- Cas 1 : Δ=0 si R²C-4L=0
=>R=2
- Cas 2 : Δ<0 si R²C-4L<0
=>R<2
- Cas 3 : Δ>0 si R²C-4L>0
=>R>2
Cas 1 : Régime critique
y=E+(A+Bt)exp(-wt) avec w=
De plus d'après les conditions initiales A=-E car UC(0)=0 et B=0 car i(0)=0
D'où
UC=E(1-exp(-wt))
Cas 2 : Régime oscillatoire amorti
y=E+(Acos(rt+φ))exp(-wt) avec w= et r=
De plus d'après les conditions initiales A=-E car UC(0)=0 et φ=0.
D'où
UC=E(1-cos(rt)exp(-wt))
Cas 3 : Régime apèriodique
y=E+Aexp(r1 t)+Bexp(r2 t) avec r1= et r2=
De plus d'après les conditions initiales
d'ou
A= et B=
D'où
UC = E+
![](images/GraphiqueRLC.jpg)
by CALLAUD Pierre
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